limites

Definición formal de límite

Funciones de variable real

Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.

Si la función ${\displaystyle f}$ tiene límite ${\displaystyle L}$ en ${\displaystyle c}$ podemos decir de manera informal que la función ${\displaystyle f}$ tiende hacia el límite ${\displaystyle L}$ cerca de ${\displaystyle c}$ si se puede hacer que ${\displaystyle f(x)}$ esté tan cerca como queramos de ${\displaystyle L}$ haciendo que ${\displaystyle x}$ esté suficientemente cerca de ${\displaystyle c}$ siendo ${\displaystyle x}$ distinto de ${\displaystyle c}$.

Los conceptos cerca y suficientemente cerca son matemáticamente poco precisos. Por esta razón, se da una definición formal de límite que precisa estos conceptos. Entonces se dice:

El límite de una función f(x), cuando x tiende a c es L si y sólo si para todo , existe un  tal que para todo número real x en el dominio de la función, si  entonces .

Esto, escrito en notación formal:

${\displaystyle \lim _{x\to c}\,\,f(x)=L}$${\displaystyle \iff \forall \varepsilon >0,\,\,\,\exists \delta >0\,|\,\forall x\in \operatorname {Dom} (f),\,\,0<|x-c|<\delta \longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon }$

En la siguiente gráfica se observa claramente, los acercamientos de un x a c y de un f(x) al límite L.