limites

Definición formal de límite

Funciones de variable real

Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.

Si la función ${\displaystyle f}$ tiene límite ${\displaystyle L}$ en ${\displaystyle c}$ podemos decir de manera informal que la función ${\displaystyle f}$ tiende hacia el límite ${\displaystyle L}$ cerca de ${\displaystyle c}$ si se puede hacer que ${\displaystyle f(x)}$ esté tan cerca como queramos de ${\displaystyle L}$ haciendo que ${\displaystyle x}$ esté suficientemente cerca de ${\displaystyle c}$ siendo ${\displaystyle x}$ distinto de ${\displaystyle c}$.

Los conceptos cerca y suficientemente cerca son matemáticamente poco precisos. Por esta razón, se da una definición formal de límite que precisa estos conceptos. Entonces se dice:

El límite de una función f(x), cuando x tiende a c es L si y sólo si para todo , existe un  tal que para todo número real x en el dominio de la función, si  entonces .

Esto, escrito en notación formal:

${\displaystyle \lim _{x\to c}\,\,f(x)=L}$${\displaystyle \iff \forall \varepsilon >0,\,\,\,\exists \delta >0\,|\,\forall x\in \operatorname {Dom} (f),\,\,0<|x-c|<\delta \longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon }$

En la siguiente gráfica se observa claramente, los acercamientos de un x a c y de un f(x) al límite L.

dominio y rango de una función

Funciones con radicales o funciones irracionales

Las funciones con radicales son las funciones que tienen la variable independiente   x   bajo el signo radical, es decir:

Las características generales de las funciones con radicales son:

1) Si   n   es un número par su dominio es el intervalo en el que   g(x) ≥ 0 .

2) Si   n   es impar, su dominio es R.

3) Su representación gráfica es una rama de una parábola.

1)   Ejemplo de función irracional:   f(x) = √x

1) Dominio:

Como   n   es par, el dominio de   f(x)   es el conjunto de valores donde   x ≥ 0 , es decir,   Dom(f) = [0, +∞)

2) Puntos de corte:

f(0) = √0 = 0  ,  es decir, el punto de corte coincide con el eje de coordenadas   (0, 0).

3) Tabla de valores:

2)   Ejemplo de función irracional:   f(x) = - √x

1) Dominio:

Como   n   es par, el dominio de   f(x)   es el conjunto de valores donde   x ≥ 0 , es decir,   Dom(f) = [0, +∞)

2) Puntos de corte:

f(0) = - √0 = 0  ,  es decir, el punto de corte coincide con el eje de coordenadas   (0, 0).

3) Tabla de valores:

3)   Ejemplo de función irracional:   

1) Dominio :

El dominio de  f (x)  y  g(x)  es el conjunto de valores donde  x - 4 ≥ 0,  es decir,  x ≥ 4.  Dom (f) = [ 4, + ∞ )   y   Dom (g) = [ 4, + ∞ ).

2) Puntos de corte :

x = 0  no pertenece al dominio de las funciones, por lo que no cortan al eje  y.



El punto de corte de ambas funciones con el eje  x  es el punto ( 4, 0 )

3)Tabla de valores :

f (x) : 

x	4	5	8	13
y	0	2	4	6

g (x) :

x	4	5	8	13
y	0	- 2	- 4	- 6

Ejemplo 4 :

1) Dominio :

El dominio de  f (x)  y de  g (x)  es el conjunto de valores donde  -x + 4 ≥ 0,  es decir,  - x ≥ -4   →   x ≤ 4.  Dom (f) = [ - ∞ , 4 ) y Dom (g) = [ - ∞ , 4 )

2) Puntos de corte :

Punto de corte de f (x) con el eje  x :  ( 0, 4 ) y de g (x) con el eje x es el punto ( 0, - 4 



El punto de corte de ambas funciones con el eje  x  es el punto ( 4, 0 )

3)Tabla de valores :

f (x) : 

x	- 5	0	3	4
y	6	4	2	0

g (x) : 

x	- 5	0	3	4
y	- 6	- 4	- 2	0

5)   Ejemplo de función irracional:   f(x) = ³√x

1) Dominio:

Como   n   es impar, el dominio de   f(x)   es el conjunto de todos los números reales , es decir,   Dom(f) = R .

2) Puntos de corte:

f(0) = ³√0 = 0  ,  es decir, el punto de corte coincide con el eje de coordenadas   (0, 0).

3) Tabla de valores:

Dominio y Rango de una función 

Se dice que el dominio de una función son todos los valores que puede tomar el conjunto del dominio y que encuentra correspondencia en el conjunto llamado codominio, generalmente cuando se habla del plano, el dominio es el intervalo de valores que están sobre el eje de las X´s y que nos generan una asociación en el eje de las Y´s.

El otro conjunto que interviene en la definición es el conjunto llamado codominio o rango de la función, en ocasiones llamado imagen, este conjunto es la gama de valores que puede tomar la función; en el caso del plano son todos los valores que puede tomar la función  o valores en el eje de las Y´s.

También, cuando se grafica en el plano cartesiano se tiene una relación de dos variables, considerando como variable aquella literal que esta sujeta a los valores que puede tomar la otra.

VARIABLES DEPENDIENTES.
Son aquellas variables que como su nombre lo indica, dependen del valor que toma las otras variables Por ejemplo: f(x)= x, y o f(x) es la variable dependiente ya que esta sujeta a los valores que se le subministre a x. 
VARIABLE INDEPENDIENTE.
Es aquella variable que no depende de ninguna otra variable, en el ejemplo anterior la x es la variable independiente ya que la y es la que depende de los valores de x.
VARIABLE CONSTANTE.
Es aquella que no esta en función de ninguna variable y siempre tiene el mismo valor ejemplo:

Y=2, la constante gravitacional, entre otras.

observemos con los siguientes videos, sobre el dominio y rango de una función

taller ecuaciones e inecuaciones de valor absoluto

Taller de ecuaciones e inecuaciones de valor absoluto

Definición de valor absoluto

Ejemplos resueltos :

1. |3x| = 5

2. |x - 3| = 1

S = { 4 , 2 }

3.  

|x + 4| = x + 1

Comprobamos la solución:

Por tanto, la ecuación no tiene solución.

Ejercicios:

Resuelve las siguientes ecuaciones con valor absoluto:

1)   |x| = 4

2)    |1 + 5x| = - 3

4)   |x² - 2| = 2 - 3x

5)   |x + 1| = |x - 5l

Ejercicios:

    Resuelve las siguientes inecuaciones de valor absoluto teniendo en cuenta las definiciones y los ejemplos resueltos.

|x| < a  se expresa como:               

    - a < x  <  a

•   |x| > a  se expresa como:

                                                                     x < - a   ó  x > a

•   |x| ≤ a  se expresa como:               

    - a  ≤ x  ≤  a

•   |x| ≥ a  se expresa como:

                                                               x ≤ - a    ó   x ≥ a

Ejercicios  resueltos 

1) |x| > 4

x < - 4    ó    x > 4

x ∈ (-∞ , - 4) ∪ (4 , ∞)

2.  |x| ≤ 4

- 4 ≤ x ≤ 4     ⇔     x ∈ [- 4 , 4]

3.     |x - 3| > 1

x - 3 < - 1     ó     x - 3 > 1

x - 3 < - 1     ⇔     x < - 1 + 3     ⇔     x < 2

x - 3 > 1     ⇔     x > 1 + 3     ⇔     x > 4

x ∈ (-∞ , 2) ∪ (4 , ∞)

4.  |x - 1| ≤ 5x - 2

- (5x - 2)  ≤  x - 1  ≤  5x - 2

- 5x + 2  ≤  x - 1  ≤  5x - 2

a)   - 5x + 2 ≤ x - 1 ⇔  2 + 1 ≤ x + 5x  ⇔ 3 ≤ 6x     ⇔  1/2 ≤ x

b)   x - 1 ≤ 5x - 2     ⇔  - 1 + 2 ≤ 5x - x  ⇔  1 ≤ 4x     ⇔ 1/4 ≤ x

La solución será el conjunto de valores de x que cumplan a) y b), por tanto, es la intersección de los intervalos.

x ∈ [1/2 , ∞) ∩ [1/4 , ∞) = [1/2 , ∞)

Realiza las siguientes inecuaciones:

 1.  |x² - 1| < 3

          2.   |x + 1| ≥ 3

          3.    4 + |x| ≥ 3x

operaciones con polinomios

OPERACIONES CON POLINOMIOS

Suma de polinomios

Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los
 términos del mismo grado.

P(x) = 2x³ + 5x − 3

Q(x) = 4x − 3x² + 2x³

1.Ordenamos los polinomios, si no lo están.

 Q(x) = 2x³ − 3x² + 4x

P(x)+Q(x)=(2x³+5x−3)+(2x³−3x²+4x)

2.Agrupamos los monomios del mismo grado.

P(x)+ Q(x) = 2x³ + 2x³ − 3x² +5x +4x −3

3.Sumamos los monomios semejantes.

P(x) +  Q(x) = 4x³− 3x² +9x − 3

Resta de polinomios

La resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.

P(x) − Q(x) = (2x³ +5x −3) −(2x³ − 3x² + 4x)

P(x) −  Q(x) = 2x³ +5x − 3 −2x³ + 3x² −4x

P(x) −  Q(x) = 2x³ −2x³ +3x² + 5x−4x −3

P(x) −  Q(x) = 3x² +x −3

Multiplicación de polinomios

Multiplicación de un número por un polinomio

Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del
 polinomio y como coeficientes el producto de los
 coeficientes del polinomio por el número.

3(2x³ −3 x² +4x −2)=6x³ −9x² +12x −6

Multiplicación de un monomio por un polinomio

Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los
 monomios que forman el polinomio.

3x² (2x³ −3x² +4x −2)=6x⁵ −9x⁴ +12x³ −6x²

Multiplicación de polinomios

P(x) =2x² −3    Q(x) =2x³ −3x² +4x

Se multiplica cada monomio del primer polinomio por
 todos los elementos segundo polinomio.

P(x) ·  Q(x) =(2x² − 3)·(2x³ − 3x² + 4x) =

= 4x⁵ −6x⁴ +8x³ −6x³ +9x² −12x =

Se suman los monomios del mismo grado.

= 4x⁵ −6x⁴ +2x³ +9x² −12x

Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de
 los grados de los polinomios que se multiplican.

También podemos multiplicar polinomios de siguiente modo:

División de polinomios

Resolver la división de polinomios:

P(x) = x⁵ + 2x³ − x − 8         Q(x) = x² − 2x + 1

P(x) :  Q(x)

A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no
es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.

A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.

Dividimos el primer monomio del dividendo entre el
 primer monomio del divisor.

x⁵ : x² = x³

Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el
 resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:

Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre
 el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos
 por el divisor y lo restamos al dividendo.

2x⁴ : x² = 2 x²

Procedemos igual que antes. 5x³ : x² = 5 x

Volvemos a hacer las mismas operaciones.

8x² : x² = 8

10x − 6 es el resto, porque su grado es menor que el 
del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo.

x³+2x² +5x+8 es el cociente.