Lógica Proposicional.

•Una proposición es un enunciado declarativo que puede ser falso o verdadero, pero no ambos a la vez.

Ejemplos:

• Los unicos enteros positivos que dividen a 7 son 1 y el propio 7. (verdadero) ✓

• Una decada tiene 10 años. (verdadera) ✓

• La Tierra es plana. (falso) ✓

• 9 x 9 = 86. (falso) ✓

• La Tierra es el unico planeta en el Universo que tiene vida. (puede ser verdadera o falsa, pero no ambas) ✘

Concepto de Proposición.

La proposición es la expresión lingüística del razonamiento, que se caracteriza por ser verdadera o falsa empíricamente, sin ambigüedades.

"Componentes de una proposición"

•TIPOS DE PROPOSICIONES

Proposiciones Simples:

Son aquellas que no tienen oraciones componentes afectadas por negaciones (“no”) o términos de enlace como conjunciones (“y”), disyunciones (“o”) o implicaciones (“si . . . entonces”). Pueden aparecer términos de enlace en el sujeto o en el predicado, pero no entre oraciones.

Proposiciones Compuestas:

Una proposición será compuesta si no es simple. Es decir, si está afectada por negaciones o términos de enlace entre oraciones componentes.

EJEMPLOS:

Simples:

•La ballena es roja.
•La raíz cuadrada de 16 es 4.
•Gustavo es alto.
•Teresa va a la escuela.

Compuestas:

•La ballena no es roja.
•Gustavo no es alto.
•Teresa va a la escuela o María es inteligente.
•4 es menor que 8 o 6 es mayor que 10.
•El 1 es el primer número primo y es mayor que cero.
•El 7 es mayor que 5 y 7 es menor que 10.
•Si Yolanda es estudiosa entonces pasará el examen.
•Si corro rápido entonces llegaré temprano.
•Terminaré rápido si y sólo si me doy prisa.
•Aprenderé Matemáticas si y sólo si estudio mucho.

DISYUNCIÓN: Se representan dos enunciados separadas por la expresión o basta con que una sea verdadera para que se cumpla la proposición  (pvq). Su símbolo es: V

EJEMPLOS:

Está lloviendo o es de noche.

Está feliz o está enojado.

Está caminando o está lloviendo.

Hay derivadas o hay integrales.

~CONJUNCIÓN: Es cuando dos proposiciones simples se combinan mediante la expresión y  , la proposición compuesta resultante se le llama conjunción (pΛq). Su símbolo es: Λ, &, ·  

EJEMPLOS:

La puerta está vieja y oxidada.

Hace frío y está nevando.

Está lloviendo y es de noche.

Tiene gasolina y tiene corriente.

~NEGACIÓN: Si p es una proposición fundamental, de ésta se puede formar otra proposición, que se le llama Negación de p, escribiendo: “Es falso que” antes de p, ó, cuando es posible, se inserta en p la palabra “No”, (¬ p) Su símbolo es: ¬, ~

EJEMPLOS:

No está lloviendo.

La señora no ceno.

Es falso que 5×2=12.

Es falso que Alemania se encuentra en Europa.

~CONDICIONAL: Es aquella proposición compleja cuya conectiva dominante es el condicional, es decir, aquella expresión apofánatica que tiene la forma p → q, y que se lee “si p, entonces q” o bien “p es condición suficiente de q”, donde A es el antecedente y B el consecuente. Su símbolo es: →

EJEMPLOS:

Si está dormido entonces está soñando.

Si quiere comer entonces tiene hambre.

Si Londres está en Inglaterra entonces París está en Francia.

Si hay gasolina en mi tanque entonces mi automóvil funciona.

~BICONDICIONAL: También llamado equivalencia o implicación doble, es una proposición de la forma “P si y sólo si Q”, en la cual tanto P como Q son ambas ciertas o ambas falsas. También se dice que Q es una condición necesaria y suficiente para P,(p↔q). Su símbolo es: ↔, ≡

EJEMPLOS:

Esta completo si y solo si tienes todas las actividades.

Saldrás si y solo si acabaste tu tarea.

Está lloviendo si y solo si está nublado.

3+2=5 si y solo si 4+4=8

Tablas de Verdad.

•CONJUNCIÓN: La regla para establecer los criterios de verdad de la conectiva lógica conjunción es la siguiente:

Una conjunción de enunciados es verdadera  cuando las dos proposiciones son  verdaderas, en los demàs casos es falsa.

• Una conjunción de enunciados en donde no todos son verdaderos es falsa.

• Lo que equivale a decir que basta que uno de sus componentes sea falsa para que toda la proposición sea falsa y sólo será verdadera en el caso de que ambos componentes lo sean.

“El auto enciende cuando tiene gasolina en el tanque y tiene corriente la bateria”

(v) p: Tiene gasolina el tanque. ✓

(v) q: Tiene corriente la bateria. ✓

(v) r: El auto enciende. ✓

(v) p: Tiene gasolina el tanque. ✓

(f ) q: No tiene corriente la bateria. ✘

(f ) r: El auto no enciende. ✘

(f ) p: No tiene gasolina el tanque. ✘

(f ) q: No tiene corriente la bateria. ✘

(f ) r: El auto no enciende. ✘

•DISYUNCIÓN: La disyunción es verdadera, las dos proposiciones son falsas, en los demás casos es verdadero.

“Una persona puede entrar al cine si compra un boleto o si obtiene un pase”

(v) p: Compra un boleto. ✓

(v) q: Obtiene un pase. ✓

(v) r: Una persona entra al cine. ✓

(v) p: Compra un boleto. ✓

(f ) q: No obtiene un pase. ✘

(v) r: Una persona entra al cine. ✓ 

(f ) p: No compra un boleto. ✘

(f ) q: No obtiene un pase. ✘

(f ) r: Una persona no entra al cine. ✘

•CONDICIONAL: expresada por la frase “si,… entonces”, se simboliza mediante el signo “→” colocado entre las dos proposiciones.. La primera proposición lleva el nombre de antecedente y la segunda proposición la de consecuente.

La condicional será falsa sólo cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso, en los demás caso será verdadera.

“Si me saco la loteria entonces te regalaré un carro”

(v) p:Si me saco la loteria. ✓

(v) q: Te regalaré un carro. ✓

(v) p→q: Si me saco la lotería entonces te regalaré un carro. ✓

(v) p:Si me saco la loteria. ✓

(f ) q: No te regalaré un carro. ✘

(f ) p→q: Si me saco la lotería entonces no te regalaré uncarro.✘⇩ ⇩ ⇩

(f ) p: Si no me saco la loteria. ✘

(f ) q: No te regalaré un carro. ✘

(f ) p→q: Si no me saco la lotería entonces no te regalaré un carro. ✓

•BICONDICIONAL: expresada por la frase “si y solo sí…”, denotada por el signo“↔”, significa una relación bidireccional en donde ambas proposiciones se necesitan entre sí.

La conectiva bicondicional será verdadera solamente si y solo si las dos sentencias que la componen son a la vez verdaderas o si son ambas falsas.

“La Tierra es esférica si y sólo si el Sol es una estrella”

(v) p: La Tierra es esférica. ✓

(v) q: El sol es una estrella. ✓

(v) p↔q: La Tierra es esférica si y sólo si el Sol es una estrella. ✓

“El Sol es una estrella si y solo si 1+2=4″

(v) p: El sol es una estrella. ✓

(f ) q: 1+2=4 ✘

(f ) p↔q: El Sol es una estrella si y solo si 1+2=4. ✘ 

“No serás un buen estudiante si y solo si no tienes promedio de 10″

(f ) p: No serás un buen estudiante. ✘

(f ) q: No tienes promedio de 10. ✘

(v ) p↔q:No serás un buen estudiante si y solo si no tienes promedio de 10. ✓

•NEGACIÓN: Dada una proposición simple p, esta puede ser negada y convertirse en otra proposición llamada negación de ~p. Este signo puede ser traducido en palabras, así: “no es el caso que” o, “es falso que” y más brevemente, “no”.

♦Se establece el siguiente principio para la negación lógica: La negación de un enunciado verdadero es falsa; la negación de un enunciado falso es verdadero.

(v) p: Está lloviendo. ✓

(f ) ~p: No está lloviendo. ✘ 

(f ) ~p: Es falso que Oscar habla por teléfono. ✘

(v) p: Oscar habla por teléfono. ✓

Tautologías, contradicción y Contingencia.

♦Con cinco conectivas lógicas básicas se construyen proposiciones compuestas que pueden ser tautologías, contradicciones o contingencias.

• Si la tabla de verdad de la proposición es siempre verdadera, independientemente de la verdad o falsedad de las proposiciones simples, entonces la expresión es tautológica.

• Si la tabla de verdad es siempre falsa, será una contradicción.

• Si es verdadera y falsa, la proposición es una contingencia.

•TAUTOLOGÍA: Una proposición compuesta es una tautología si es verdadera para todas las asignaciones de valores de verdad  para sus proposiciones componentes. Dicho de otra forma, su valor V no depende de los valores de verdad de las proposiciones que la forman, sino de la forma en que están establecidas las relaciones sintácticas de unas con otras. Sea el caso: 

•CONTRADICCIÓN: Se entiende por proposición contradictoria, o contradicción, aquella proposición que en todos los casos posibles de su tabla de verdad su valor siempre es F. Dicho de otra forma, su valor F no depende de los valores de verdad de las proposiciones que la forman, sino de la forma en que están establecidas las relaciones sintácticas de unas con otras. Sea el caso: 

•CONTINGENCIA:Se entiende por verdad contingente, o verdad de hecho, aquella proposición que puede ser verdadera o falsa, (combinación entre tautología y contradicción) según los valores de las proposiciones que la integran. Sea el caso: 

Cuantificadores.

El cuantificador universal: indica que algo es cierto para todos los individuos.

• Sea A una expresión y sea x una variable. Si deseamos indicar que A es verdadero para todos los posibles valores de x, escribiremos (∀x) A.

• (∀x) es cuantificador universal.

•  A es el ámbito (alcance) del cuantificador.

•  El símbolo ∀ se lee “para todo”.

Ejemplo:

• Todo el mundo tiene buena suerte de vez en cuando.

B ≡ “tener buena suerte de vez en cuando”
B(x) ≡ “x tiene buena suerte de vez en cuando”
∀ xB(x) en el conjunto de los seres humanos.

Cuantificador Existencial: Sea A una expresión y x una variable. Si deseamos indicar que A es verdadero para al menos un valor de la variable x, escribiremos ∃ xA.
∃ se denomina cuantificador existencial, y A es el ámbito o alcance del cuantificador existencial.

Ejemplo:

• Hay una persona que ha irrumpido en el aula con malos modales.

B ≡ “irrumpir en el aula con malos modales”
B(x) ≡ “x irrumpe en el aula con malos modales”
∃xB(x) en el conjunto de los seres humanos.