OPERACIONES CON RADICALES

Con los radicales se pueden realizar las operaciones conocidas como la suma, resta, multiplicación y división.

Para poder sumar y restar radicales se requiere que los términos a operar sean semejantes, es decir que el radical tenga el mismo índice y la misma cantidad subradical, ejemplo:

video tomado de la dirección 

https://www.youtube.com/watch?v=UCyLUpXmu-4

SUMA Y RESTA DE RADICALES

para sumar o restar radicales se debe realizar lo siguiente:

• se suman o restan los coeficientes de los radicales semejantes y se deja el mismo radical.

Ejemplos.

imagen tomada de la dirección http://www.videosdematematicas.com/algebra/sites/default/files/field/image/Suma%20y%20resta%20de%20radicales%20semejantes%20ejercicios%20resueltos.jpg

si a simple vista los radicales dados no son semejantes, tendremos que simplificar a los radicales hasta donde sea posible y finalmente sumar los radicales simplificados que sean semejantes.

veamos algunos ejemplos en el siguiente video

el video fue tomado de la dirección https://www.youtube.com/watch?v=2BVgn1wk5ko

https://www.youtube.com/watch?v=Lfl4L98yqTg&t=67s

DIVISIÓN SINTÉTICA

La división sintética se realiza para simplificar la división de un polinomio entre otro polinomio
de la forma x – c, logrando una manera mas compacta y sencilla de realizar la división

observe el siguiente video

OBSERVE OTRO EJEMPLO

Los pasos para realizar una división sintética son:

1. Se ordenan los coeficientes de los términos en un orden decreciente de potencias de x hasta llegar al exponente cero rellenando con coeficientes cero donde haga falta.

2. Se deja un espacio libre hacia abajo y se traza una línea horizontal.

3. Se baja el primer coeficiente de la izquierda debajo de la linea horizontal.

4. Se multiplica el coeficiente que se bajo por el divisor y el resultado lo escribimos debajo del segundo coeficiente del dividendo y se realiza la suma de los coeficientes.

5. Se repite este procedimiento hasta terminar con el último coeficiente del dividendo.

Al terminar, el ùltimo número obtenido se llama residuo y los anteriores coeficientes serán el polinomio cociente o resultado. 
Para escribir el resultado, se escriben los coeficientes obtenidos con la variable  disminiuda en un grado del polinomio inicial.
Ejemplo: Dividir con división sintética

El residuo es -108.
Ejemplo:

VOLUMEN DE LA PIRÁMIDE

La pirámide es un poliedro, constituido por un polígono simple (llamado base) y sus caras laterales tienen forma de triángulos que tienen un único lado que coincide con uno del polígono base; todos los triángulos tienen un vértice común llamado vértice de la pirámide. 

Las pirámides toman el nombre de acuerdo al número de lados que tenga su base. Ejemplo: pirámide triangular, pirámide cuadrangular, pirámide pentagonal, etc.

En la figura anterior se tiene una pirámide pentagonal porque su base tiene cinco lados.

La pirámide tiene elementos como:

La altura que está desde el vértice de la pirámide y cae perpendicularmente a la base.

La base que es donde se apoya la pirámide

Las caras laterales que es cada uno de los triángulos que conforma su área lateral

La apotema que viene a ser la altura de cada triángulo.

A continuación se muestran algunas de las pirámides mencionadas anteriormente.

CLASES DE PIRÁMIDES

Las pirámides se dividen según la forma del polígono de su base, según el ángulo que forma la base con su altura.

Imagen tomada de: http://webdelprofesor.ula.ve/nucleotrujillo/alperez/teoria/cap_01a-conceptos_geometricos/06a-solido-poliedro.htm

DESPLIEGUE DE PIRÁMIDES
Pirámide cuadrangular                                 Pirámide Pentagonal

Imagen tomada de: http://matelucia.wordpress.com/1-posicion-relativa-de-recta/3-6-prismas-y-piramides/

ÁREA Y VOLUMEN DE LAS PIRÁMIDES

Imagen tomada de:http://cuerpossolidosgeometricos1.wordpress.com/category/formulas-para-calcular-areas-y-volumenes/

El área lateral se busca multiplicando el perímetro de la base por el apotema y dividiendo entre dos.

El área total es la suma del área lateral más el área de la base.

El volumen se busca multiplicando el área de la base por su altura y dividiendo entre 3.

Volumen, Área lateral y total de primas

El volumen de un prisma se halla multiplicando el área de la base por altura del cuerpo, es decir

V = Ab x H

Observa el siguiente video de aplicación

Ahora veamos el área lateral y área total de los prismas

El área lateral de superficie de un prisma es la suma de las áreas de sus caras laterales. El area total de superficie de un prisma es la suma de las áreas de sus caras laterales y sus dos bases. ... = ph donde p representa el perímetro de la base y h representa la altura del prisma.

Veamos los  siguientes videos.

FRACCIONES ALGEBRAICAS COMPLEJAS

FRACCIONES  ALGEBRAICAS COMPLEJAS

Fracciones complejas algebraicas:

Una fracción compleja es aquella cuyo numerador o denominador ( o ambos ) esta conformado por otras fracciones.

Ejemplos:

Pasos para simplificar fracciones complejas:

1. Resolver completamente las operaciones presentes en el numerador y denominador de la fracción compleja.
2. Convertir una fracción compleja en una fracción simple.  

    3. Se simplifica al máximo la fracción algebraica resultante.

Aquí vamos a ver dos ejemplos de fracciones complejas: 

1._ 

  

    

1. Lo primero que vamos hacer es ponerle un denominador al (1).

2. Aquí utilizamos el método de la carita feliz porque multiplicamos cruzados y los dos denominadores

.

 3. Después que obtenemos el resultado con este método procedemos a multiplicar con el método de la oreja que es medios con medios y extremos con extremos

                                                                   

4. Después que tenemos la fracción de multiplicación del numerador y denominador que es  esta etapa y la hacemos una fracción simple: como lo vamos aquí:  

 5. En este paso ya pasamos a simplificar los terminos iguales y nos queda  así  como es una diferencia de cuadrados perfectos.  

 6. Luego pasamos hacer este procedimiento que es la suma por la diferencia de cuadrados que es el resultado del numerador y en el denominador sigue igual el producto. como lo vemos aquí

 7. Observamos que aquí hay factor común en el numerador y denominador, en lo cual pasamos a simplificar. 

 8. Bueno ya simplificado queda la respuesta planteada así. 

2._ Este es el segundo ejemplo de fracción compleja: 

*** Aquí va el numerador 

 1. Este es un ejercicio diferente al anterior ya que lo vamos a resolver por separado, primero resolvemos el numerador luego el denominador y  cuando tengamos ambos resultados entonces construimos la fracción compleja, ya con una sola fracción arriba y abajo para convertirla en una fracción simple. 

2. Comencemos con el numerador donde tenemos una suma de fracciones algebraicas heterogéneas, en el cual el MCD es el producto de los denominadores

3. Aquí procedemos a multiplicar con el método de la carita feliz que es en forma de (x).  

 4. Y sale esta respuesta ya multiplicada y luego pasamos desarrollar el numerador en el cual aplicamos la propiedad distributiva multiplicando lo de afuera con lo que esta dentro del paréntesis así y el denominador pasa con el mismo producto indicado: 

  

 6.  En el siguiente paso ya aplicada la función  distributiva queda otra respuesta como lo vemos a continuación así: 

7. En este paso, pasamos a reducir terminos semejante como lo mostramos con las flechas de colores, y aquí va la respuesta de la reducción de terminos y ademas es el resultado del numerador. 

*** Ahora pasamos al denominador

1. Aquí tenemos una resta de fracciones algebraicas

 2. El (MCD) es el producto de estas dos expresiones del denominador  que son: (x-2)(x+6) : y lo pasamos a realizar con el método de la carita feliz  así:

3. Y aquí ya tenemos ensamblada la operación de la carita feliz:    4. Y así mismo aplicamos la propiedad distributiva como lo mostramos con las flechas de colores y el denominador pasa con el producto indicado:   

          

                                                   

4. Ahora vamos hacer la reducción de terminos semejantes en el numerador y lo mostramos con los colores en el numerador y queda la operación así:

 5. Y esta es la respuesta del denominador. Luego todo pasa así desde el comienzo ya con el numerador y denominador ya resueltos para pasar hacer la fracción así:  

*** Esta es la fracción con los resultados del numerador y del denominador con una sola fracción arriba y abajo:   

  

                                                                                  

 6. Cambiamos esto en una fracción simple simplificando el numerador con el denominador ya que son iguales y el orden de los factores no alteran el producto:

  

 7. Y nos queda así  esta es la respuesta del ejercicio, en el numerador y en el denominador, esto no es posible simplificar a pesar que en el numerador podemos extraer el factor común de 8 pero eso no hace que se simplifique la fracción y termina así.      

OBSERVA LA EXPLICACIÓN DE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS 

EJEMPLO 1.

EJEMPLO 2.

EJEMPLO 3

EJEMPLO 4.  

limites

Definición formal de límite

Funciones de variable real

Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.

Si la función ${\displaystyle f}$ tiene límite ${\displaystyle L}$ en ${\displaystyle c}$ podemos decir de manera informal que la función ${\displaystyle f}$ tiende hacia el límite ${\displaystyle L}$ cerca de ${\displaystyle c}$ si se puede hacer que ${\displaystyle f(x)}$ esté tan cerca como queramos de ${\displaystyle L}$ haciendo que ${\displaystyle x}$ esté suficientemente cerca de ${\displaystyle c}$ siendo ${\displaystyle x}$ distinto de ${\displaystyle c}$.

Los conceptos cerca y suficientemente cerca son matemáticamente poco precisos. Por esta razón, se da una definición formal de límite que precisa estos conceptos. Entonces se dice:

El límite de una función f(x), cuando x tiende a c es L si y sólo si para todo , existe un  tal que para todo número real x en el dominio de la función, si  entonces .

Esto, escrito en notación formal:

${\displaystyle \lim _{x\to c}\,\,f(x)=L}$${\displaystyle \iff \forall \varepsilon >0,\,\,\,\exists \delta >0\,|\,\forall x\in \operatorname {Dom} (f),\,\,0<|x-c|<\delta \longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon }$

En la siguiente gráfica se observa claramente, los acercamientos de un x a c y de un f(x) al límite L.

dominio y rango de una función

Funciones con radicales o funciones irracionales

Las funciones con radicales son las funciones que tienen la variable independiente   x   bajo el signo radical, es decir:

Las características generales de las funciones con radicales son:

1) Si   n   es un número par su dominio es el intervalo en el que   g(x) ≥ 0 .

2) Si   n   es impar, su dominio es R.

3) Su representación gráfica es una rama de una parábola.

1)   Ejemplo de función irracional:   f(x) = √x

1) Dominio:

Como   n   es par, el dominio de   f(x)   es el conjunto de valores donde   x ≥ 0 , es decir,   Dom(f) = [0, +∞)

2) Puntos de corte:

f(0) = √0 = 0  ,  es decir, el punto de corte coincide con el eje de coordenadas   (0, 0).

3) Tabla de valores:

2)   Ejemplo de función irracional:   f(x) = - √x

1) Dominio:

Como   n   es par, el dominio de   f(x)   es el conjunto de valores donde   x ≥ 0 , es decir,   Dom(f) = [0, +∞)

2) Puntos de corte:

f(0) = - √0 = 0  ,  es decir, el punto de corte coincide con el eje de coordenadas   (0, 0).

3) Tabla de valores:

3)   Ejemplo de función irracional:   

1) Dominio :

El dominio de  f (x)  y  g(x)  es el conjunto de valores donde  x - 4 ≥ 0,  es decir,  x ≥ 4.  Dom (f) = [ 4, + ∞ )   y   Dom (g) = [ 4, + ∞ ).

2) Puntos de corte :

x = 0  no pertenece al dominio de las funciones, por lo que no cortan al eje  y.



El punto de corte de ambas funciones con el eje  x  es el punto ( 4, 0 )

3)Tabla de valores :

f (x) : 

x	4	5	8	13
y	0	2	4	6

g (x) :

x	4	5	8	13
y	0	- 2	- 4	- 6

Ejemplo 4 :

1) Dominio :

El dominio de  f (x)  y de  g (x)  es el conjunto de valores donde  -x + 4 ≥ 0,  es decir,  - x ≥ -4   →   x ≤ 4.  Dom (f) = [ - ∞ , 4 ) y Dom (g) = [ - ∞ , 4 )

2) Puntos de corte :

Punto de corte de f (x) con el eje  x :  ( 0, 4 ) y de g (x) con el eje x es el punto ( 0, - 4 



El punto de corte de ambas funciones con el eje  x  es el punto ( 4, 0 )

3)Tabla de valores :

f (x) : 

x	- 5	0	3	4
y	6	4	2	0

g (x) : 

x	- 5	0	3	4
y	- 6	- 4	- 2	0

5)   Ejemplo de función irracional:   f(x) = ³√x

1) Dominio:

Como   n   es impar, el dominio de   f(x)   es el conjunto de todos los números reales , es decir,   Dom(f) = R .

2) Puntos de corte:

f(0) = ³√0 = 0  ,  es decir, el punto de corte coincide con el eje de coordenadas   (0, 0).

3) Tabla de valores:

Dominio y Rango de una función 

Se dice que el dominio de una función son todos los valores que puede tomar el conjunto del dominio y que encuentra correspondencia en el conjunto llamado codominio, generalmente cuando se habla del plano, el dominio es el intervalo de valores que están sobre el eje de las X´s y que nos generan una asociación en el eje de las Y´s.

El otro conjunto que interviene en la definición es el conjunto llamado codominio o rango de la función, en ocasiones llamado imagen, este conjunto es la gama de valores que puede tomar la función; en el caso del plano son todos los valores que puede tomar la función  o valores en el eje de las Y´s.

También, cuando se grafica en el plano cartesiano se tiene una relación de dos variables, considerando como variable aquella literal que esta sujeta a los valores que puede tomar la otra.

VARIABLES DEPENDIENTES.
Son aquellas variables que como su nombre lo indica, dependen del valor que toma las otras variables Por ejemplo: f(x)= x, y o f(x) es la variable dependiente ya que esta sujeta a los valores que se le subministre a x. 
VARIABLE INDEPENDIENTE.
Es aquella variable que no depende de ninguna otra variable, en el ejemplo anterior la x es la variable independiente ya que la y es la que depende de los valores de x.
VARIABLE CONSTANTE.
Es aquella que no esta en función de ninguna variable y siempre tiene el mismo valor ejemplo:

Y=2, la constante gravitacional, entre otras.

observemos con los siguientes videos, sobre el dominio y rango de una función