Expresiones algebraicas

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Una expresión algebraica es una expresión matemática en la que se combinan números y letras.

8m + 2

Los números se denominan “coeficiente” y las letras “parte literal”.

La letra “a” representa una incógnita, es decir una variable de la que desconocemos su valor y que hay que calcular. El número que acompaña a la letra la va multiplicando.

3m = 3 x m

Por ejemplo:

Alberto tiene el doble de años que Carlos. ¿Qué edad tiene Alberto?

Edad de Alberto = 2a

La “a” representa la edad de Carlos; es una incógnita ya que por el momento desconocemos su valor.

El coeficiente 2 quiere decir que Alberto tiene el doble de edad que Carlos.

Si alguien nos dice la edad de Carlos, por ejemplo 7 años, sabremos el valor de la “a”.

a = 7 años

Luego ya podemos calcular la edad de Alberto.

Edad de Alberto = 2a = 2 x 7 = 14 años

La expresión algebraica puede tener varios sumandos. Cada sumando se denomina término.

3a + 5b + 3c – 7a

“3a” es un término, “5b” es otro término…

Cuando llego a conocer los valores de las letras (incógnitas) la expresión algebraica se transforma en una expresión numérica.

Por ejemplo, si en el ejemplo anterior el valor de las letras fuera:

a = 3 

b = 2

c = 5

La expresión algebraica se transformaría:

3a + 5b + 3c – 7a = (3 x 3) + (5 x 2) + (3 x 5) – (7 x 3) = 13

A.- Monomios

Cuando una expresión algebraica tan sólo tiene un término se denomina monomio.

3b

Dos monomios que tienen la misma parte literal se dice que son semejantes:

Por ejemplo: En el jardín hay dos piedras, la primera pesa el doble que un ladrillo, y la segunda el triple.

Peso de la primera piedra: 2a
Peso de la segunda piedra: 3a

Ambos monomios, 2a y 3a, tiene la misma parte literal, la letra “a” (que representa el peso del ladrillo), luego ambos monomios son semejantes.

B.- Suma y resta de monomios

Si son monomios semejantes se mantiene la parte literal y se suman (restan) sus coeficientes:

3a + 4a = 7a
8a - 5a = 3a

Si los monomios no son semejantes no se pueden agrupar sus términos.

5a + 3b
9a – 8c

C.- Multiplicación y división de un monomio por un número

Se multiplica (o divide) el coeficiente por el número y se mantiene la parte literal.

4a x 2 = 8a

6a : 3 = 2a

DESIGUALDADES

DESIGUALDADES

Una desigualdad es una expresión matemática que contiene un signo de desigualdad. Los signos de desigualdad son:

≠ no es igual 
< menor que 
> mayor que 
≤ menor o igual que 
≥ mayor o igual que

De la definición de desigualdad, lo mismo que de la escala de los números algebraicos, se deducen algunas consecuencias, a saber:

1º Todo número positivo es mayor que cero

Ejemplo:

5 > 0 ; porque 5 – 0 = 5

2º Todo número negativo es menor que cero

Ejemplo:

–9 < 0 ; porque –9 –0 = –9

3º Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto ;

Ejemplo:

–10 > –30; porque -10 – (–30) = –10 +30 = 20

Una desigualdad que contiene al menos una variable se llama inecuación .

Por ejemplo:

X + 3 < 7

(La punta del signo < siempre señala el menor)

Ejemplos:

3 < 4,       4 > 3

¿Cómo resolvemos una inecuación? Para esto tenemos que conocer y entender las propiedades de las desigualdades.

Propiedades de las desigualdades

1. Una desigualdad no varía si se suma o resta la misma cantidad a ambos lados:

a < b            / ± c  (sumamos o restamos c a ambos lados)

a ± c < b ± c

Ejemplo:

2 + x  >  16          / – 2  (restamos 2 a ambos lados)

2 + x − 2 > 16 − 2

x  >  14

2. Una desigualdad no varía su sentido si se multiplica o divide por un número positivo:

a < b            / • c (c > 0) (c es positivo, mayor que cero)

a • c < b • c

a > b          / • c (c > 0) ( c es positivo, mayor que cero)

a • c > b • c

Ejemplo

3 ≤ 5 • x   / :5

3/5 ≤ x    esto es, todos los reales mayores o iguales que 3/5

3. Una desigualdad varía su sentido si se multiplica o divide por un número negativo:

a < b              / • c (c < 0) (c es negativo, menor que cero)

a • c > b • c

a > b             / • c (c < 0) ( c es negativo, menor que cero)

a • c < b • c

Ejemplo:

15 – 3 • x ≥ 39                   / −15

− 3 • x ≥ 39 – 15           /: −3

x ≤ 24: (−3)

x ≤ − 8. Esto es, todos los reales menores o iguales que −8.

De manera recíproca, cuando la parte de la incógnita resulta negativa deben invertirse los signos a ambos lados y cambiar el sentido de la desigualdad, ya que no puede haber desigualdades con incógnita negativa.

El siguiente video te explica las anteriores propiedades . OBSERVA.

ángulos y su clasificación

Rectas paralelas cortadas por una secante

La relación entre dos rectas paralelas cortadas por una secante es un análisis clásico de la geometría euclidiana, que permite analizar una infinidad de problemas prácticos, así como definir algunos conceptos de interés en cuanto a congruencia y suplementaridad de ángulos.

Partiendo de dos rectas paralelas r y s, y una transversal t que corta a ambas, da lugar a ocho ángulos, cuya posición relativa da lugar a su definición.

Denominación de los ángulos

Ángulos adyacentes: Son los angulos que tienen un lado en común y sus otros dos lados son semirrectas opuestas.

Son ángulos adyacentes los siguientes pares de ángulos: a,b; c,d; a,c; b,d; e,f; g,h; e,g; f,h.

Los ángulos adyacentes son suplementarios, es decir, que la suman es 180°.

• Ángulos opuestos por el vértice: Si los lados de uno son semirrectas opuestas a los lados del otro.

Son ángulos opuestos por el vértice los siguientes pares de ángulos: a,d; b,c; e,h; f,g.

Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes, es decir tienen la misma medida a cada lado del vértice.

• Ángulos alternos internos: Son los que se encuentran a distinto lado de la secante y en la zona interior de las rectas paralelas.

Son ángulos alternos internos los siguientes pares de ángulos: c,f; d,e.

Los ángulos alternos internos son congruentes.

• Ángulos alternos externos: Son los que se encuentran a distinto lado de la secante y en la zona externa de las rectas paralelas.

Son ángulos alternos externos los siguientes pares de ángulos: a,h; b,g.

Los ángulos alternos externos son congruentes.

• Ángulos colaterales internos: Son los que se encuentran del mismo lado de la secante y entre de las rectas.

Son ángulos colaterales internos los siguientes pares de ángulos: c,e; d,f.

Los ángulos colaterales internos son suplementarios.(suman 180°)

• Ángulos colaterales externos: Son los que se encuentran en uno y otro lado de la secante.

Son ángulos colaterales externos los siguientes pares de ángulos: a,g; b,h.

Los ángulos colaterales externos son suplementarios.(suman 180°)

• Ángulos correspondientes u homólogos: Son los que se encuentran en el mismo lado de la secante, un ángulo en la parte interior y otro en el exterior de las paralelas.

Son ángulos correspondientes los siguientes pares de ángulos: a,e; b,f; c,g; d,h.

Los ángulos correspondientes son congruentes.

OBSERVA. En los siguientes videos se muestran algunos ejercicios sobre como se forman ángulos entre dos paralelas cortadas por  una secante.

LOS ÁNGULOS Y SU CLASIFICACIÓN

Con base en la teoría vista en nuestra clase de geometría, el siguiente video te sirve de refuerzo, para entender el concepto de los ángulos y como se clasifica:

INECUACIONES

Propiedades de las desigualdades

1. Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o se les resta un mismo número, la inecuación resultante es equivalente a la dada.


3x + 4 < 5

3x + 4 − 4 < 5 − 4

3x < 1


2. Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número positivo, la inecuación resultante es equivalente a la dada.


   2x < 6 

   2x : 2  <  6 : 2 

     x < 3

3. Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número negativo, la inecuación resultante cambia de sentido y es equivalente a la dada.


   −x < 5

 (−x) · (−1) > 5 · (−1)

     x > −5

inecuaciones de primer grado. 

En este video aprenderás como se resuelven las inecuaciones de primer grado, solucionando algunos ejemplos.

Inecuaciones Cuadráticas

Las Inecuaciones Cuadráticas son aquellas que tienen la variable elevada al cuadrado y su solución se puede encontrar de dos formas: estudiando los signos de los factores encontrados luego de la factorización o estudiando la función cuadrática.

Si encuentras la solución por los factores debes considerar todos los posibles signos que cumplan con la desigualdad y si es por la función una vez graficada se observa donde la función cumple con la desigualdad.

Las inecuaciones cuadráticas tiene como forma base : ax² + bx + c < 0. En este tipo de inecuaciones nos encargaremos de ubicar con exactitud los intervalos en los cuales esta ubicada nuestra inecuación por ello aplicamos una serie de pasos como el despejar la variable ´´x´´ , por el método de aspa simple.

A continuación, a medida de ejemplos visualizaremos los siguientes videos donde se puede observar de manera clara y precisa la resolución de las inecuaciones cuadráticas.

Números irracionales

Un número irracional es un número que no se puede escribir en fracción - el decimal sigue para siempre sin repetirse.

Ejemplo: Pi es un número irracional. El valor de Pi es

3,1415926535897932384626433832795 (y más...)

Los decimales no siguen ningún patrón, y no se puede escribir ninguna fracción que tenga el valor Pi.

Números como 22/7 = 3,1428571428571... se acercan pero no son correctos.

Se llama irracional porque no se puede escribir en forma de razón (o fracción), ¡no porque esté loco!

Racional o irracional

Pero si un número se puede escribir en forma de fracción se le llama número racional:

Ejemplo: 9,5 se puede escribir en forma de fracción así

19/2 = 9,5

así que no es irracional (es un número racional)

Aquí tienes más ejemplos:

Números	En fracción	¿Racional o irracional?
5	5/1	Racional
1,75	7/4	Racional
.001	1/1000	Racional
√2 (raíz cuadrada de 2)	?	¡Irracional!

Ejemplo: ¿La raíz cuadrada de 2 es un número irracional?

Mi calculadora dice que la raíz de 2 es 1,4142135623730950488016887242097, ¡pero eso no es todo! De hecho sigue indefinidamente, sin que los números se repitan.

No se puede escribir una fracción que sea igual a la raíz de 2.

Así que la raíz de 2 es un número irracional

Números irracionales famosos

	Pi es un número irracional famoso. Se han calculado más de un millón de cifras decimales y sigue sin repetirse. Los primeros son estos: 3,1415926535897932384626433832795 (y sigue...)
	El número e (el número de Euler) es otro número irracional famoso. Se han calculado muchas cifras decimales de e sin encontrar ningún patrón. Los primeros decimales son: 2,7182818284590452353602874713527 (y sigue...)
	La razón de oro es un número irracional. Sus primeros dígitos son: 1,61803398874989484820... (y más...)
	Muchas raíces cuadradas, cúbicas, etc. también son irracionales. Ejemplos: √3 1,7320508075688772935274463415059 (etc) √99 9,9498743710661995473447982100121 (etc) Pero √4 = 2, y √9 = 3, así que no todas las raíces son irracionales.

GRÁFICA DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES

Historia de los números irracionales

Aparentemente Hipaso (un estudiante de Pitágoras) descubrió los números irracionales intentando escribir la raíz de 2 en forma de fracción (se cree que usando geometría). Pero en su lugar demostró que no se puede escribir como fracción, así que es irracional.

Pero Pitágoras no podía aceptar que existieran números irracionales, porque creía que todos los números tienen valores perfectos. Como no pudo demostrar que los "números irracionales" de Hipaso no existían, ¡tiraron a Hipaso por la borda y se ahogó!