El valor absoluto o numérico de un número es la distancia del mismo con respecto al 0 en la recta numérica.
El valor absoluto de cualquier número es siempre positivo.
Entonces | x | = x
| x | = -(-x ) = x si x ‹ 0
PROPIEDADES
* No Negatividad: Establece que el valor absoluto de un número nunca puede ser negativo.
* El producto de dos números es siempre igual al producto de los módulos de ambos números tomados por separado.
| xy| = | x | | y |
* suma de dos números es siempre igual a la suma por separado del módulo de ambos números.
| x + y| = | x | + | y |
En combinación con estas cuatro propiedades fundamentales, algunas otras de las propiedades más importantes son:
* Simetría: Establece que la definición básica del valor absoluto es, en otras palabras, ignorar el signo negativo.
| - x | = x
* La división de dos números es siempre igual a la división del módulo de los dos números por separado.
| x / y| = | x | / | y | si y 0
observa el siguiente video
INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Para resolver una inecuación con valor absoluto, se debe tener en cuenta las siguientes propiedades:
propiedades del valor absoluto
|x| = a son los valores x tales que x = a o x = - a
|x| < a son los valores x tales que - a < x < a
|x| > a son los valores x tales que x < - a o x > a
La desigualdad |x|≤a describe el intervalo cerrado [-a, a], simétrico respecto al origen.
Y los números reales |x| < a son los del intervalo abierto (-a, a).
La desigualdad |x| ≥ a describe la unión de los intervalos (-∞, -a]∪[a, ∞).
Y los números reales |x|> a son la unión de los intervalos abiertos (-∞, -a)∪(a, ∞).
La desigualdad |x - c| < d es el intervalo abierto (c-d, c+d), denominado también entorno de centro c y radio d, E(c , r).
La desigualdad |x - c|≤d es el intervalo cerrado [c -d , c+d].
La desigualdad |x - c|>d es la unión de los intervalos (-∞, c-d) ∪ (c+d, ∞).
La desigualdad |x-c|≥d es la unión de los intervalos (-∞, c-d] ∪ [c+d, ∞).
Ejemplos de las propiedades del valor absoluto
a) La expresión |x| < 5 representa el intervalo abierto (-5, 5)
|x| < 5 ⇔ -5 < x < 5 ⇔ x ∈ (-5,5)
b) La expresión |x| ≤ 5 representa el intervalo cerrado [-5, 5]
|x| ≤ 5 ⇔ -5 ≤ x ≤ 5 ⇔ x ∈ [-5,5]
c) La expresión |x-5| ≤ 7 representa el intervalo cerrado [-2, 12]
pues |x-5|≤7 ⇔ -7≤x-5≤7 ⇔ -7+5≤ x ≤ 7+5 ⇔ -2≤x≤12 ⇔ x∈[-2, 12]
d) La expresión |x| > 5 representa la unión de intervalos (-∞, -5)∪(5, ∞), pues
|x| > 5 ⇔ x < -5 o x > 5 ⇔ x ∈ (-∞ , -5) ∪ (5 , ∞)
e) La expresión |x-5|≥7 representa la unión de intervalos (-∞,-2]∪[12,∞), pues
|x-5| ≥ 7 ⇔ x-5 ≤ -7 o x-5 ≥ 7 ⇔ x ≤ 5-7 o x≥5+7 ⇔ x ∈ (-∞ , -2] ∪ [12 , ∞)
OBSERVA los siguientes videos para reforzar los conceptos y propiedades vistas anteriormente
Ecuaciones con valor absoluto
Inecuaciones con valor absoluto
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