operaciones con polinomios

OPERACIONES CON POLINOMIOS

Suma de polinomios

Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los
 términos del mismo grado.

P(x) = 2x³ + 5x − 3

Q(x) = 4x − 3x² + 2x³

1.Ordenamos los polinomios, si no lo están.

 Q(x) = 2x³ − 3x² + 4x

P(x)+Q(x)=(2x³+5x−3)+(2x³−3x²+4x)

2.Agrupamos los monomios del mismo grado.

P(x)+ Q(x) = 2x³ + 2x³ − 3x² +5x +4x −3

3.Sumamos los monomios semejantes.

P(x) +  Q(x) = 4x³− 3x² +9x − 3

Resta de polinomios

La resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.

P(x) − Q(x) = (2x³ +5x −3) −(2x³ − 3x² + 4x)

P(x) −  Q(x) = 2x³ +5x − 3 −2x³ + 3x² −4x

P(x) −  Q(x) = 2x³ −2x³ +3x² + 5x−4x −3

P(x) −  Q(x) = 3x² +x −3

Multiplicación de polinomios

Multiplicación de un número por un polinomio

Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del
 polinomio y como coeficientes el producto de los
 coeficientes del polinomio por el número.

3(2x³ −3 x² +4x −2)=6x³ −9x² +12x −6

Multiplicación de un monomio por un polinomio

Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los
 monomios que forman el polinomio.

3x² (2x³ −3x² +4x −2)=6x⁵ −9x⁴ +12x³ −6x²

Multiplicación de polinomios

P(x) =2x² −3    Q(x) =2x³ −3x² +4x

Se multiplica cada monomio del primer polinomio por
 todos los elementos segundo polinomio.

P(x) ·  Q(x) =(2x² − 3)·(2x³ − 3x² + 4x) =

= 4x⁵ −6x⁴ +8x³ −6x³ +9x² −12x =

Se suman los monomios del mismo grado.

= 4x⁵ −6x⁴ +2x³ +9x² −12x

Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de
 los grados de los polinomios que se multiplican.

También podemos multiplicar polinomios de siguiente modo:

División de polinomios

Resolver la división de polinomios:

P(x) = x⁵ + 2x³ − x − 8         Q(x) = x² − 2x + 1

P(x) :  Q(x)

A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no
es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.

A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.

Dividimos el primer monomio del dividendo entre el
 primer monomio del divisor.

x⁵ : x² = x³

Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el
 resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:

Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre
 el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos
 por el divisor y lo restamos al dividendo.

2x⁴ : x² = 2 x²

Procedemos igual que antes. 5x³ : x² = 5 x

Volvemos a hacer las mismas operaciones.

8x² : x² = 8

10x − 6 es el resto, porque su grado es menor que el 
del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo.

x³+2x² +5x+8 es el cociente.

funciones matemàticas

FUNCIONES

INTRODUCCION 
    

Las funciones matemáticas, en términos simples,  corresponden al proceso lógico común que

 se expresa como “depende de”. Este proceso 

lógico se aplica a todo lo que tiene relación a un resultado o efecto sea este medible o no 

en forma cuantitativa. 
Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas:

Ejempo1.  

el agua que consumimos, a cada metro cúbico consumido le corresponde un valor

determinado.

Ejemplo2. La sombra proyectada por un edificio que depende de la

la estatura de un niño que depende de su edad.

Ejemplo 3. el costo de una llamada telefónica que depende de su 
duración; 

Ejemplo 4. el costo de enviar una encomienda que depende de su peso; 


Los números de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda.
A modo de ejemplo, ¿cuál sería la regla que relaciona los números de la 
derecha con los de la izquierda en la siguiente lista?:

		1 --------> 1
		2 --------> 4
		3 --------> 9
		4 --------> 16


	x -------> x2.
La regla es entonces "elevar al cuadrado":



Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general 

es  la letra f (de función). f es la regla "elevar al cuadrado el número".

Usualmente se emplean dos notaciones:	       

	x --------> x2      ó     f(x) = x2 .


Así, f(3) significa aplicar la regla f a 3. Al hacerlo resulta 32 = 9. 

Entonces f(3) = 9. De igual modo f(2) = 4, f(4) = 16 f(a) = a2, etc.


definición formal:
Una función f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto X 
exactamente un elemento, llamado f(x) de un conjunto Y.

Otra definición equivalente es: sean X e Y dos conjuntos. Una función de X en Y 

en X.

relaciones

RELACIONES MATEMÁTICAS

Una relación ${\displaystyle R_{\ }^{\ }}$, de los conjuntos ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}}$ es un subconjunto del producto cartesiano

${\displaystyle R\subseteq A_{1}\times A_{2}\times \ldots \times A_{n}}$

Una relación binaria es una relación entre dos conjuntos.

El concepto de relación implica la idea de enumeración, de algunos de los elementos, de los conjuntos que forman tuplas.

${\displaystyle R(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})\qquad {\mbox{o bien}}\qquad (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})\in R}$

Un caso particular es cuando todos los conjuntos de la relación son iguales: ${\displaystyle A_{1}=A_{2}=\ldots =A_{n}}$ en este caso se representa ${\displaystyle A\times A\times \ldots \times A}$ como ${\displaystyle A^{n}\,}$, pudiéndose decir que la relación pertenece a A a la n.

${\displaystyle R\subseteq A^{n}}$

En las relaciones se diferencian los tipos según el número de conjuntos en el producto cartesiano, que es el número de términos de la relación:

Relación unaria: un solo conjunto ${\displaystyle R\subseteq A\times 1,\;R(a)}$

Relación binaria: con dos conjuntos ${\displaystyle R\subseteq A_{1}\times A_{2},\;R(a_{1},a_{2})}$

Relación ternaria: con tres conjuntos ${\displaystyle R\subseteq A_{1}\times A_{2}\times A_{3},\;R(a_{1},a_{2},a_{3})}$

Relación cuaternaria: con cuatro conjuntos ${\displaystyle R\subseteq A_{1}\times A_{2}\times A_{3}\times A_{4},\;R(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4})}$

Relación n-aria: caso general con n conjuntos ${\displaystyle R\subseteq A_{1}\times A_{2}\ldots \times A_{n},\;R(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})}$

Producto cartesiano

Producto cartesiano de conjuntos

En matemáticas, el producto cartesiano de dos conjuntos es una operación, que resulta en otro conjunto, cuyos elementos son todos los pares ordenados que pueden formarse de forma que el primer elemento del par ordenado pertenezca al primer conjunto y el segundo elemento pertenezca al segundo conjunto.

Por ejemplo, dados los conjuntos:

${\displaystyle A=\{1,2,3,4\}}$

y

${\displaystyle B=\{a,b\}}$

su producto cartesiano es:

El producto cartesiano recibe su nombre de René Descartes, cuya formulación de la geometría analítica dio origen a este concepto

DEFINICIÓN

Un par ordenado es una colección de dos objetos distinguidos como primero y segundo, y se denota como (a, b), donde a es el «primer elemento» y b el «segundo elemento». Dados dos conjuntos A y B, su producto cartesiano es el conjunto de todos los pares ordenados que pueden formarse con estos dos conjuntos:

El producto cartesiano de A y B es el conjunto A × B cuyos elementos son los pares ordenados (a, b), donde a es un elemento de A y b un elemento de B: ${\displaystyle A\times B=\{(a,b):a\in A\;\;{\text{y}}\;\;b\in B\}}$

El producto cartesiano se puede puede representar gráficamente de dos formas:

1. Plano cartesiano

2. Diagramas sagitales

observa el video

inecuaciones con valor absoluto

ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto o numérico de un número es la distancia del mismo con respecto al 0 en la recta numérica.

El valor absoluto de cualquier número es siempre positivo. 

  Entonces | x | = x

            | x | = -(-x )  = x   si x ‹ 0 

PROPIEDADES

* No Negatividad: Establece que el valor absoluto de un número nunca puede ser negativo.

* El producto de dos números es siempre igual al producto de los módulos de ambos números tomados por separado.

| xy| = | x | | y |

*  suma de dos números es siempre igual a la suma por separado del módulo de ambos números.

| x + y| = | x | + | y |

En combinación con estas cuatro propiedades fundamentales, algunas otras de las propiedades más importantes son:

 * Simetría: Establece que la definición básica del valor absoluto es, en otras palabras, ignorar el signo negativo.

| - x | = x

* La división de dos números es siempre igual a la división del módulo de los dos números por separado.

| x / y| = | x | / | y | si y 0

observa el siguiente video

INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

Para resolver una inecuación con valor absoluto, se debe tener en cuenta las siguientes propiedades:

propiedades del valor absoluto

|x| = a   son los valores x tales que   x = a   o   x = - a

|x| < a   son los valores x tales que   - a < x < a

|x| > a  son los valores x tales que   x < - a   o   x > a

La desigualdad |x|≤a describe el intervalo cerrado [-a, a], simétrico respecto al origen.

Y los números reales   |x| < a son los del intervalo abierto    (-a, a).

La desigualdad   |x| ≥ a describe la unión de los intervalos   (-∞, -a]∪[a, ∞).

Y los números reales |x|> a   son la unión de los intervalos abiertos   (-∞, -a)∪(a, ∞).

La desigualdad   |x - c| < d   es el intervalo abierto (c-d, c+d), denominado también entorno de centro   c    y   radio  d,  E(c , r).

La desigualdad  |x - c|≤d es el intervalo cerrado [c -d , c+d].

La desigualdad  |x - c|>d es la unión de los intervalos (-∞, c-d) ∪ (c+d, ∞).

La desigualdad  |x-c|≥d es la unión de los intervalos (-∞, c-d] ∪ [c+d, ∞).

Ejemplos de las propiedades del valor absoluto

a) La expresión   |x| < 5   representa el intervalo abierto  (-5, 5)

      |x| < 5     ⇔     -5 < x < 5       ⇔    x ∈ (-5,5)

b) La expresión   |x| ≤ 5   representa el intervalo cerrado  [-5, 5]

      |x| ≤ 5   ⇔   -5 ≤ x ≤ 5    ⇔   x ∈ [-5,5]

c) La expresión   |x-5| ≤ 7   representa el intervalo cerrado  [-2, 12]

pues |x-5|≤7   ⇔ -7≤x-5≤7  ⇔ -7+5≤ x ≤ 7+5    ⇔ -2≤x≤12 ⇔ x∈[-2, 12]

d) La expresión   |x| > 5 representa la unión de intervalos (-∞, -5)∪(5, ∞), pues

      |x| > 5    ⇔   x < -5     o     x > 5    ⇔     x ∈ (-∞ , -5) ∪ (5 , ∞)

e) La expresión |x-5|≥7 representa la unión de intervalos (-∞,-2]∪[12,∞), pues

      |x-5| ≥ 7    ⇔   x-5 ≤ -7       o        x-5 ≥ 7    ⇔     x ≤ 5-7   o  x≥5+7  ⇔ x ∈ (-∞ , -2] ∪ [12 , ∞)

OBSERVA los siguientes videos para reforzar los conceptos y propiedades vistas anteriormente

Ecuaciones con valor absoluto

Inecuaciones con valor absoluto